Medidas De Tendencia Central

Universidad Nacional Experimental

“Simón Rodríguez”

Núcleo – Canoabo

Terminología en Estadística

 

Medidas de Tendencia Central

 

Facilitador:                                                                                            Participantes: 

 

Lic. Héctor González                                                                 -    Flores Jhoan C.I; 21042176

            -          Leal José Aly C.I; 22614071

                                                               

Octubre– 2013.

 

Introducción

      La Media aritmética es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación.

      También la media aritmética puede ser denominada como centro de gravedad de una distribución, el cual no está necesariamente en la mitad.

      Es la medida de posición más utilizada debido a que en forma empírica la hemos utilizado cuando determinamos el promedio aritmético de calificaciones semestrales; también se le conoce con el nombre de valor medio. Nos sirve para determinar el promedio matemático de un conjunto de datos, y posee como características la unicidad, facilidad de cálculo y la influencia negativa que ejercen los valores extremos en su determinación.

      Existe una relación amplia entre la moda, la media y la mediana. De acuerdo a las Medidas de tendencia central, tenemos que  Son valores numéricos que localizan e informan sobre los valores medios de una serie o conjunto de datos, se les considera como indicadores debido a que resumen la información como un todo.

      Las medidas de tendencia central pueden calcularse a partir de datos originales o a partir de datos agrupados en una tabla de distribución de frecuencias, las que consideraremos en este curso son la media aritmética, la mediana y la moda.

      Las medidas de posición no centrales permiten conocer otros puntos característicos de la distribución que no son los valores centrales. Entre otros indicadores, se suelen utilizar una serie de valores que dividen la muestra en tramos iguales: Cuartiles: son 3 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cuatro tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 25% de los resultados. Deciles: son 9 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en diez tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 10% de los resultados. Percentiles: son 99 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cien tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 1% de los resultados

 

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

1-      Media aritmética (definición, denotación, propiedades, modelo matemático y ejemplos).

 

v  Definición y Denotación:

 

      También llamada media o promedio. La media aritmética es el promedio de un conjunto de números, a1,a2,a3,…an, obtenida sumando todos los números y dividiéndola entre n.

      Esta es una manera de encontrar un valor representativo de un conjunto de números. El resultado es que sólo necesitamos trabajar con un número (la media aritmética) en lugar de un gran conjunto de datos, cuando se considera apropiado; es decir, es el valor característico de una serie de datos cuantitativos objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemática o valor esperado. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral siendo uno de los principales estadísticos muestrales.

       Una de las limitaciones de la media aritmética es que se trata de una medida muy sensible a los valores extremos; valores muy grandes tienden a aumentarla mientras que valores muy pequeños tienden a reducirla, lo que implica que puede dejar de ser representativa de la población.

       La media aritmética es, probablemente, uno de los parámetros estadísticos más extendidos.

 

__

X es el símbolo de la media aritmética.

                         __

                          X =  X₁ + X₂ + …. Xn = ∑ⁿ_{i = 1 xi}

                                               n                        n

Media aritmética para datos agrupados

      Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:                     __

                          X =  X₁f₁ + X₂f₂+ ….+ Xnfn

                                                   N

     __

     X= ∑ⁿ_{i-1 XiFi}                                                                                        

              N

v  Propiedades

 

·         Las principales propiedades de la media aritmética son:

·         Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos.

·         Su valor es único para una serie de datos dada.

·         Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque es más apropiado acompañarla de una medida de dispersión.

·         Se interpreta como "punto de equilibrio" o "centro de masas" del conjunto de datos, ya que tiene la propiedad de equilibrar las desviaciones de los datos respecto de su propio valor:

                                                _                                    _        _   _

∑ⁿ_{i= 1 (Xi -}x _{) =}    ∑ⁿ_{i = 1 Xi     -}   ∑ⁿ_{i = 1 X    =     X – X = 0}

                                         n                    n                 n

·         Minimiza las desviaciones cuadráticas de los datos respecto de cualquier valor prefijado, esto es, el valor de ∑ⁿ_{i= 1 (Xi -}k₎²

                                                       N     es mínimo cuando K = X. Este resultado se conoce como Teorema de König. Esta propiedad permite interpretar uno de los parámetros de dispersión más importantes: la varianza.

·         Se ve afectada por transformaciones afines (cambios de origen y escala), esto es, si X´i = aXi + b entonces X´= aX + b, donde X´es la media aritmética de los X´i, para i = 1, ..., n y a y b números reales.

·         Es poco sensible a fluctuaciones muestrales, por lo que es un parámetro muy útil en inferencia estadística.

 

v  Modelo matemático:

       Para hacer la determinación matemática de la media los cálculos respectivos se pueden realizar para datos originales o sin agrupar y para datos agrupados en una tabla de distribución de frecuencias.

       Para un conjunto de datos sin agrupar, sea X1, X2, X3,.........Xn, la media aritmética se obtiene sumando los productos de los valores por su frecuencia de aparición y dividiendo el valor obtenido entre el número total de datos que se sumaron, lo cual se puede apreciar en el siguiente modelo matemático:

                                                           __

                                                            X= ∑ⁿ_1Xi 

                                                                     n  

       Si los datos estan ordenados con su frecuencia de aparición el modelo cambia a:

                                                           __

                                                            X= ∑ⁿ₁Xifi 

                                                                     n 

Donde: 

Xi = Cada uno de los valores que forman el conjunto.

n = Numero total de observaciones.

fi = Numero de veces que se repite un mismo número.

      A este modo de obtención de la media aritmética se le conoce como método largo.

Ejemplo. Determine la media de los siguientes números:

X1 = 2, X2 = 12, X3 = 9, X4 = 10 y X5 = 7.

__

x = 2 + 12 + 9 + 10 + 7 / 5 = 8

      Si graficamos estos números y su media tendremos:

* * * * *

0 – 1 –2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12

 

      Podemos observar claramente que la media aritmética es el punto de equilibrio entre los datos.

       Para un conjunto de datos agrupados en un tabular, la media se calcula partiendo de la suposición que todos los valores que caen dentro de un determinado intervalo de clase se localizan en el punto medio de clase el cual se obtiene calculando el promedio de los límites superior e inferior del intervalo. El modelo matemático es el siguiente:

                            _

                               x = Σ fi mi

                                                       n

 

v  Ejemplos:

 

1-      Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

_

       x = 84 + 91 +72 +68 + 87+ 78 = 80kg

                                            6

 

2-      En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.

	xi	fi	xi · fi
[10, 20)	15	1	15
[20, 30)	25	8	200
[30,40)	35	10	350
[40, 50)	45	9	405
[50, 60	55	8	440
[60,70)	65	4	260
[70, 80)	75	2	150
		42	1 820

                                              _

                          x = 1820 = 43.33

                                                            42

3-      Las notas de 5 alumnos en una prueba:

 

Niño     nota

 1       6,0    ·Primero, se suman las notas:

 2       5,4        6,0+5,4+3,1+7,0+6,1 = 27,6

 3       3,1    ·Luego el total se divide entre la cantidad de alumnos:

 4       7,0         27,6/5=5,52

 5       6,1    

· La media aritmética en este ejemplo es 5,52

 

2-      Mediana (definición, denotación, propiedades, modelo matemático  y ejemplos).

 

v  Definición y Denotación:

 

          La mediana es un valor de la variable que deja por debajo de sí a la mitad de los datos, una vez que éstos están ordenados de menor a mayor. Es decir; Dentro de un conjunto de datos la mediana es un punto que tiene como característica el que divide al conjunto en dos partes iguales, se le identifica por el signo X o Me o Md. Tratándose de datos originales no necesitamos ninguna fórmula para hallar la mediana pero es preciso ordenarlos de menor a mayor o viceversa.

      Existen métodos de cálculo más rápidos para datos más númerosos. Del mismo modo, para valores agrupados en intervalos, se halla el "intervalo mediano" y, dentro de éste, se obtiene un valor concreto por interpolación.

Existen dos métodos para el cálculo de la mediana:

1. Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos.
2. Utilizando los datos agrupados en intervalos de clase.

·         Datos sin agrupar: Sean X₁ + X₂+ X₃…X_n los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como Me, distinguimos dos casos:

      a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición (n+1)/2 una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: Me = X(n+1)/2.

      Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: X1=3, X2=6, X3=7, X4=8, X5=9=> El valor central es el tercero: X (5+1)/2 = x3 =7. Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo (X1,X2) y otros dos por encima de él (X4,X5).

      b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Cuando es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones N/2 Y N/2 + 1. Es decir: Me = (Xn/2 +Xn/2 +1)/2.

      Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: X1=3, X2=6, X3=7, X4=8, X5=9, X6=10 => Hay dos valores que están por debajo del X6/2 = X3=7 y otros dos que quedan por encima del siguiente dato  X6/2+1 = X4=8 . Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: Me = (X3+X4/2 = 7+8/2 +1)/2 = 7,5.

·         Datos agrupados: Al tratar con datos agrupados, si n/2coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abcisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:

Ni –Ni-1/ai –ai-1 = n/2 –Ni-1/P => p= N/2 –Ni-1/Ni-Ni-1 (ai-ai-1)

      Donde Ni y Ni-1 son las frecuencias absolutas acumuladas tales que Ni-1 < n/2< Ni, ai-1, y ai son los extremos, interior y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana y Me= ai-1 +P es la abscisa a calcular, la mediana. Se observa que ai-ai-1 es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.

Ejemplos: Ejemplo 1: Cantidad (N) impar de datos

      Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase vienen dadas por la siguiente tabla:

xi	fi	Ni
1	2	2
2	2	4
3	4	8
4	5	13
5	8	21 > 19.5
6	9	30
7	3	33
8	4	37
9	2	39

 

 

 

 

Calificaciones	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número de alumnos	2	2	4	5	8	9	3	4	2

      Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas Ni. Así, aplicando la formula asociada a la mediana para n impar, se obtiene X(39+1)/2 = X20.

                                       Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20

      Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar. En este ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19.5 con lo que Me = 5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.

v  Propiedades

       Las principales propiedades de la mediana son:

·         Es menos sensible que la media a oscilaciones de los valores de la variable. Un error de transcripción en la serie del ejemplo anterior en, pongamos por caso, el último número, deja a la mediana inalterada.

·         Como se ha comentado, puede calcularse para datos agrupados en intervalos, incluso cuando alguno de ellos no está acotado.

·         No se ve afectada por la dispersión. De hecho, es más representativa que la media aritmética cuando la población es bastante heterogénea. Suele darse esta circunstancia cuando se resume la información sobre los salarios de un país o una empresa. Hay unos pocos salarios muy altos que elevan la media aritmética haciendo que pierda representatividad respecto al grueso de la población. Sin embargo, alguien con el salario "mediano" sabría que hay tanta gente que gana más dinero que él, como que gana menos.

 

v  Modelo Matemático:

                                    ~

x  Lri+ = n/2 – fa/fc  i

                         

 

Donde:

Lri = Limite real inferior de la clase que contiene la mediana.

n = Numero total de observaciones del conjunto.

fa = Frecuencia acumulada de la clase mediana.

fc = Numero de observaciones en la clase que contiene la mediana.

i = Tamaño del intervalo de clase.

 

v   Otro Ejemplo:

       La mediana del número de hijos de un conjunto de trece familias, cuyos respectivos hijos son: 3, 4, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1 y 1, es 2, puesto que, una vez ordenados los datos: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, el que ocupa la posición central es 2:

1,1,1,1,1,1, (Mitad inferior)   2, (Mediana) 2,2,2,3,3,4 (Mitad superior)

      En caso de un número par de datos, la mediana no correspondería a ningún valor de la variable, por lo que se conviene en tomar como mediana el valor intermedio entre los dos valores centrales. Por ejemplo, en el caso de doce datos como los siguientes:

1,1,1,1,1, (Valores inferiores)  1, 2, (Valores intermedios) 2,2,3,3,4 (Valores superiores)

      Se toma como mediana 1,5 = 1+2/2

 

3-      Moda (definición, denotación, propiedades, modelo matemático  y ejemplos).

 

v  Definición y Denotación:

       La moda es el dato más repetido, el valor de la variable con mayor frecuencia absoluta. En cierto sentido la definición matemática corresponde con la locución "estar de moda", esto es, ser lo que más se lleva.

      Es una medida de tendencia central que es poco usada porque puede no existir y muy a menudo puede no ser un valor único. La moda se define como el valor que ocurre con mayor frecuencia en un conjunto de datos, si existe un solo valor máximo decimos que es unimodal, si tiene dos o más valores con la misma frecuencia máxima decimos que el conjunto es bimodal, trimodal, etc. Se representa por las letras Mo.

      Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.

      Su cálculo es extremadamente sencillo, pues sólo necesita un recuento. En variables continuas, expresadas en intervalos, existe el denominado intervalo modal o, en su defecto, si es necesario obtener un valor concreto de la variable, se recurre a la interpolación.

v  Propiedades:

Sus principales propiedades son:

·         Cálculo sencillo.

·         Interpretación muy clara.

·         Al depender sólo de las frecuencias, puede calcularse para variables cualitativas. Es por ello el parámetro más utilizado cuando al resumir una población no es posible realizar otros cálculos, por ejemplo, cuando se enumeran en medios periodísticos las características más frecuentes de determinado sector social. Esto se conoce informalmente como "retrato robot".

 

v  Modelo Matemático:

      Para obtener la moda en datos agrupados se usa la siguiente fórmula:

M= Li + (D1/ D1+d2) C

Donde:

Li= L-inferior de la clase modal.

D1= es el delta de frecuencia absoluta modal y la frecuencia absoluta premodal.

D2= es el delta de frecuencia absoluta modal y la frecuencia absoluta postmodal.

Ai= Amplitud del intervalo modal

      Con base en el Método Proyectivo se obtiene la moda de la siguiente manera usando el ejemplo anterior:
1.- Se Identifica la clase modal, que es la clase que tiene más frecuencias.
2.- Se identifica las diferencias con las clases vecinas.
3.- Se hace un cambio de escala

v  Ejemplos:

1-      l número de personas en distintos vehículos en una carretera: 5-7-4-6-9-5-6-1-5-3-7.

El número que más se repite es 5, entonces la moda es 5.

 

2-      Sean los siguientes valores ordenados de manera ascendente.

                             56, 62, 62, 65, 65, 65, 65, 68, 70, 72.

      Como podemos observar en este conjunto de datos el número 65 se presenta 4 veces, por tanto es el valor que ocurre con mayor frecuencia, por ello la moda será igual a 65.

4- Relación entre las medidas de tendencia central (explicación y representación gráfica).

 

      La media es el promedio o sea la sumatoria de todos los números dividido la cantidad de números totales la mediana es el número que está en el medio (con todos los números ordenados de menor a mayor) y la moda es el número que más se repite

Ejemplo: 1 1 1 2 2 9 8 7 5 2 1 6 5

 

      En esa sucesión de números el promedio es (1+1+1+2+2+9+8+7+5+2+1+6+5)/13. Para la mediana hay que ordenarlos y quedaría de la siguiente manera 1 1 1 1 2 2 2 5 5 6 7 8 9 como son 13 números la mediana es el que ocupa la posición 7 ya que hay 6 más chicos y otros 6 más grandes (en este caso el 2) y la moda es el que más se repite en este caso el "1"

      En el caso de distribuciones unimodales, la mediana está con frecuencia comprendida entre la media y la moda (incluso más cerca de la media).

      En distribuciones que presentan cierta inclinación, es más aconsejable el uso de la mediana. Sin embargo en estudios relacionados con propósitos estadísticos y de inferencia suele ser más apta la media.

       Veamos un ejemplo de cálculo de estas tres magnitudes.

Ejemplo

       Consideramos una tabla estadística relativa a una variable continua, de la que nos dan los intervalos, las marcas de clase c_i, y las frecuencias absolutas, n_i.

Intervalos	ci	ni
0 -- 2	1	2
2 -- 4	3	1
4 -- 6	5	4
6 -- 8	7	3
8 - 10	9	2

      Para calcular la media podemos añadir una columna con las cantidades n_i c_i. La suma de los términos de esa columna dividida por n=12 es la media:

 

Intervalos	ci	ni	Ni	ni ci
0 -- 2	1	2	2	2
2 -- 4	3	1	3	3
4 -- 6	5	4	7	20
6 -- 8	7	3	10	21
8 - 10	9	2	12	18
	12		64

__

X = 64/12 =5,3´

      La mediana es el valor de la variable que deja por debajo de sí a la mitad de la n observaciones, es decir 6. Construimos la tabla de las frecuencias absolutas acumuladas, Ni, y vemos que eso ocurre en la modalidad tercera, es decir,

                       i=3 Observación.

(Li-1, Li) = (4;6) Intervalo donde se encuentra la mediana

M_{ed =}Li-1 + n/2 –Ni-1 / ni . ai= 4 + 12/2-3 / 4. 2= 5,5 € (Li-1,Li)

      Para el cálculo de la MODA lo primero es encontrar los intervalos modales, buscando los máximos relativos en la columna de las frecuencias absolutas, ni. Vemos que hay dos modas, correspondientes a las modalidades i=1, i=3. En el primer intervalo modal, (l0,1]=(0,2], la moda se calcula como

Moda= Li-1 + ni – ni-1 / (ni-ni-1) + (ni-ni-1). ai = 0 +2-0/ (2-0)+(2-1). 2 =1,3´

      El segundo intervalo modal es (l₂,l₃]=(4;6], siendo la moda el punto perteneciente al mismo que se obtiene como:

Moda= Li-1 + ni – ni-1 / (ni-ni-1) + (ni-ni-1). ai = 4+4-1/ (4-1)+(4-3). 2 =5,5

      En este caso, la moda no toma un valor único, sino el conjunto

Moda= (1,3´; 5,5)

 

5-  Media geométrica (definición, denotación, propiedades, modelo matemático  y ejemplos).

 

v  Definición y Denotación:

      Es una especie de media de un conjunto de números que es diferente de la media aritmética. La media geométrica es bien definida sólo para los conjuntos de números reales positivos. Esto se calcula multiplicando todos los números (llamar al número de los números N), y tomando la raíz enésima del total. Un ejemplo común de que la media geométrica es la opción correcta es cuando un promedio de las tasas de crecimiento.

      Existen dos usos principales de la media geométrica:

1. Para promediar porcentajes, índices y cifras relativas y
2. Para determinar el incremento porcentual promedio en ventas, producción u otras actividades o series económicas de un periodo a otro.

      En matemáticas y estadística, la media geométrica de una cantidad arbitraria de números (por decir n números) es la raíz n-ésima del producto de todos los números, es recomendada para datos de progresión geométrica, para promediar razones, interés compuesto y números índices.

__

X=n√ n µ i=1 Xi =  n√ X1.X2…Xn

Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 es

2√2.18= 2√36 = 6

Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sería

3√1.3.9= 3√27 = 3

 

 

v  Propiedades:

 

·         El logaritmo de la media geométrica es igual a la media aritmética de los logaritmos de los valores de la variable.

·         La media geométrica de un conjunto de números positivos es siempre menor o igual que la media aritmética:

(X1X2…Xn) ^1/n ≤ X1+X2+…Xn

                          n

      La igualdad sólo se alcanza si  X1 =X2=…Xn

v  Modelo Matemático:

       La media geométrica (MG), El modelo matemático para la media geométrica es dada por:

MG= ⁿ√ (x1)(x2)…(Xn)

v  Ejemplo:

·         Supongase que las utilidades obtenidas por una compañía constructora en cuatro proyectos fueron de 3, 2, 4 y 6%, respectivamente. ¿Cuál es la media geométrica de las ganancias?.

      En este ejemplo y así la media geométrica es determinada por

 

MG= ⁴√ (3)(2)(4)(6)

= 3.464101615

 y así la media geométrica de las utilidades es el 3.46%.

      La media aritmética de los valores anteriores es 3.75%. Aunque el valor 6% no es muy grande, hace que la media aritmética se incline hacia valores elevados. La media geométrica no se ve tan afectada por valores extremos.

·         Para encontrar la media geométrica de1,2,3,4,5.

Paso1: N = 5, el número total de valores. Encontrar1/N.
1/N = 0.2

Paso2:Ahora se encuentran con una media geométrica de la fórmula.
((1)(2)(3)(4)(5))^0.2 = (120)^0.2
Así, la media geométrica= 2.60517.

 

6- Media armónica (definición, denotación, propiedades, modelo matemático  y ejemplos).

 

v  Definición y Denotación:

      Se define como el recíproco de la media aritmética de los recíprocos. La media armónica, denominada H, de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades.

      Así, dados n números x1, x2, ... , xn la media armónica será igual a:

                                     H= n/ ∑ⁿ_i= 1/xi = n / (1/x1+…+ 1/xn)

      La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.

      La media armónica no está definida en el caso de que exista algún valor nulo.

v  Propiedades:

1. La inversa de la media armónica es la media aritmética de los inversos de los valores de la variable.
2. Siempre se puede pasar de una media armónica a una media aritmética transformando adecuadamente los datos.
3. La media armónica siempre es menor o igual que la media aritmética, ya que para cualesquiera números reales positivos xi>0 :

n/ 1/x1+..+1/xn ≤ x1 +..+xn/ n

v  Modelo Matemático:

 

      Para esta media, el modelo matemático a utilizar es:

MA= 1/ 1/n(1/x1+ 1/x2+…+1/xn)

 

      Este valor se emplea para promediar variaciones con respecto al tiempo

 

v  Ejemplo:

      Una familia realiza un viaje en automóvil a un ciudad y cubre los primeros 100 km a 60 km/h, los siguientes 100 km a 70 km/h y los últimos 100 km a 80 km/h. Calcular, en esas condiciones, la velocidad media realizada.

MA= 1/ 1/3(1/60 + 1/70 + 1/80)

= 69.041

 

7- Media cuadrática (definición, denotación, propiedades, modelo matemático  y ejemplos).

 

v  Definición y Denotación:

      La media cuadrática (MQ) en matemáticas, es el valor cuadrático medio o RMS (del inglés root mean square) es una medida estadística de la magnitud de una cantidad variable. Puede calcularse para una serie de valores discretos o para una función de variable continua. El nombre deriva del hecho de que es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores. Es decir; La media cuadrática es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los valores dividida entre el número de datos.

      A veces la variable toma valores positivos y negativos, como ocurre, por ejemplo, en los errores de medida. En tal caso se puede estar interesado en obtener un promedio que no recoja los efectos del signo. Este problema se resuelve, mediante la denominada media cuadrática. Consiste en elevar al cuadrado todas las observaciones (así los signos negativos desaparecen), en obtener después su media aritmética y en extraer, finalmente, la raíz cuadrada de dicha media para volver a la unidad de medida original.

v  Propiedades:

      Esta presenta una propiedad:

·         Hay una relación de orden de las medias obtenidas de una misma colección de valores H≤ G ≤ A ≤ C , donde H es la media armónica; G, la media geométrica; A, la media aritmética ; C, la media cuadrática^[.

 

v  Modelo Matemático:

       La media cuadrática (MQ) o Mc de un conjunto de números X₁, X₂, X₃,., X_N se suele denotar porel siguiente modelo matemático:

                                          MQ= √X²⁼ √ ∑ⁿ_j-1X2j /N=√ ∑^X2 / N

   

      Este tipo de promedio se utiliza con frecuencia en las aplicaciones físicas.

v  Ejemplo:

·         Esta es más alta que la media aritmética, y por tanto que la geométrica y armónica.

Por ejemplo, la media cuadrática de 2, 5, 6 y 23

Es aproximadamente 12,2.

 

8- Relación entre la medida aritmética, geométrica y armónica (explicación).

      La media geométrica de una colección de números positivos X1, X2, X3, ..., XN es menor o igual que su media aritmética, pero mayor o igual que su media armónica. En símbolos,                                   __

                                       H ≤G≤ X

      La igualdad ocurre si y sólo si todos los números X1, X2, X3, ..., XN son idénticos.

      El empleo de la media geométrica o de la armónica equivale a una transformación de la variable en log X ó 1/X, respectivamente, y el cálculo de la media aritmética de la nueva variable; por ejemplo, si la variable abarca un campo de variación muy grande, tal como el porcentaje de impureza de un producto químico, por lo general alrededor del 0.1%, pero que en ocasiones llega incluso al 1% o más, puede ser ventajoso el empleo de log X en lugar de X para obtener una distribución más simétrica y que se aproxime más a una distribución normal.

      La media aritmética de log es el logaritmo de la media geométrica de X, de forma que la media empleada es equivalente al empleo de la media geométrica como valor medio de X.

 

9- Medidas de tendencia no central: deciles, cuartiles y percentiles (definición, denotación, propiedades, modelo matemático  y ejemplos).

      En estadística descriptiva, las medidas de posición no central permiten conocer otros puntos característicos de la distribución que no son los valores centrales. Entre las medidas de posición no central más importantes están los cuantiles.

      El término cuantil fue usado por primera vez por Kendall en 1940. El cuantil de orden p de una distribución (con 0 < p < 1) es el valor de la variable Xp que marca un corte de modo que una proporción p de valores de la población es menor o igual que Xp. Por ejemplo, el cuantil de orden 0.36 dejaría un 36% de valores por debajo y el cuantil de orden 0.50 se corresponde con la mediana de la distribución.

      Los cuantiles suelen usarse por grupos que dividen la distribución en partes iguales; entendidas estas como intervalos que comprenden la misma proporción de valores. Los más usados son:

·         Los Cuartiles, que dividen a la distribución en cuatro partes (corresponden a los cuantiles 0.25, 0.50 y 0.75);

·         Los Quintiles, que dividen a la distribución en cinco partes (corresponden a los cuantiles 0.20, 0.40, 0.60 y 0.80) ;

·         Los Deciles, que dividen a la distribución en diez partes;

·         Los Percentiles, que dividen a la distribución en cien partes.

      En el cálculo de cuantiles con distribuciones de variable continua (por ejemplo, con datos agrupados) puede conseguirse fácilmente que las partes en que se divide la distribución sean exactamente iguales. Sin embargo, en las distribuciones de variable discreta (como el caso de datos aislados) debemos conformarnos con que estas partes sean aproximadamente iguales. Por desgracia, no hay consenso sobre la forma en que realizar esta aproximación, existiendo en la literatura científica nueve métodos diferentes, que conducen a resultados diferentes. Por ello, al calcular cualquier cuantil de datos no agrupados por medio de calculadora, software o manualmente, es básico el saber e indicar el método utilizado.

      La función que a cada p le asigna el punto de corte Xp , es decir, el valor del cuantil de orden p, se denomina función cuantil.

1-     Cuartiles:

      Los cuartiles son los tres valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro partes porcentualmente iguales. Aparecen citados en la literatura científica por primera vez en 1879 por D. McAlister.

La diferencia entre el tercer cuartil y el primero se conoce como rango intercuartílico. Se representa gráficamente como la anchura de las cajas en los llamados diagramas de cajas.

      Dada una serie de valores X₁,X₂,X₃ ...X_n ordenados en forma creciente, podemos pensar que su cálculo podría efectuarse:

·         Primer cuartil (Q₁) como la mediana de la primera mitad de valores;

·         Segundo cuartil (Q₂) como la propia mediana de la serie;

·         Tercer cuartil (Q₃) como la mediana de la segunda mitad de valores.

Cuartiles para datos agrupados

·         En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra K.N/4, K =1,2,3, en la tabla de las frecuencias acumuladas.

 

Qk= Li+ K.N/4-Fi-1 / fi.ai         K= 1,2,3

 

·         Li= es el límite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil.

·         N= es la suma de las frecuencias absolutas.

·         Fi-1= es la frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil.

·         ai=  es la amplitud de la clase.

 

v  Propiedades:

·         Los cuartiles son un caso particular de los percentiles. Hay 3 cuartiles:

·         Primer cuartil: Q1=P25, segundo cuartil: Q2=D5 =P50=Mediana, tercer cuartil: Q3=P75

·         Esto conduce a distintos métodos de cálculo de los cuartiles primero (así como tercero) según la propia mediana se incluya o excluya en la serie de la primera (respecto de la segunda) mitad de valores.

·         Cálculo con datos no agrupados

·         No hay uniformidad sobre su cálculo. En la bibliografía se encuentran hasta cinco métodos que dan resultados diferentes^[.^] Uno de los métodos es el siguiente: dados n datos ordenados,

• El primer cuartil:
  (n+3)/4
• Para el tercer cuartil:
  (3n+1)/4

v  Modelo Matemático:

 

      Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.

    Q2 coincide con la mediana.

·         Ordenamos los datos de menor a mayor.

·         Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión K.N/4,K=1,2,3

Número impar de datos

2, 5, 3, 6, 7, 4, 9

                                    2, 3, 4, 5, 6, 7, 9

                                       Q1   Q2    Q3

Número par de datos

2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9

                                                 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9

                                                      2.5   4.5   6.5

                                                      Q1   Q2    Q3

v  Ejemplo:

Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla:

	fi	Fi
[50, 60)	8	8
[60, 70)	10	18
[70, 80)	16	34
[80, 90)	14	48
[90, 100)	10	58
[100, 110)	5	63
[110, 120)	2	65
	65

Cálculo del primer cuartil

65.1/4 = 16.25

Q1= 60+16.25-8/10 = 68.25

Cálculo del segundo cuartil

65.2/4 = 32.5

Q2= 70+32.5-18/16.10 = 79.0625

Cálculo del tercer cuartil

65.3/4 = 48.75

Q3= 90+48.75-48/10.10 = 90.75

v  Percentiles:

      Se representan con la letra P. Para el percentil i-ésimo, donde la i toma valores del 1 al 99. El i % de la muestra son valores menores que él y el 100-i % restante son mayores.

Aparecen citados en la literatura científica por primera vez por Francis Galton en 1885.^[.]

·         P25 = Q1.

·         P50 = Q2 = mediana.

·         P75 = Q3.

      Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.

   P50 coincide con la mediana.

      Un método para establecer un percentil sería el siguiente: Calculamos...

X= n.i/100 donde n es el número de elementos de la muestra e i, el percentil. El resultado de realizar esta operación es un número real con parte entera E y parte decimal D. Teniendo en cuenta estos dos valores, aplicamos la siguiente función:

                                     Pi = (elemento (E+1)

                                                Elemento € + elemento (E+1) / 2,    para D <> 0

                                                                                                            Para D = 0

      Esta última operación brinda el valor del percentil pedido

v  Propiedades:

      Los percentiles de un conjunto de datos son calculados con la instrucción “perctl”. A esta instrucción hay que introducirle dos vectores. Uno de ellos “x” debe contener los datos que queremos procesar y en el otro “y”, valores enteros comprendidos entre el 1 y el 100. La función calcula cuales son los valores de “x” que se corresponden con los percentiles indicados en “y”. Por ejemplo:

x=[7,12,4,8,3,10,11,5,13,1,12,3,5,1,17,4,8,8,7,19,8,1,7,17,4,7,1,7,3,7,3,13,3,4,7,8,10,2,5,11,5,4,3,5,8];

y=[15,25,60,80]

      Calcularía los percentiles 15, 25, 60 y 80 del conjunto de datos del vector “x”, mostrando en la salida una matriz de dos columnas. En la primera de ellas aparecen los valores de los percentiles pedidos y en la segunda aparece la posición que ocupan en el vector “x” dichos valores:

prctile(x,y)

ans  =

   3.     43.

   4.      3.

   7.     media de los elementos 1 y 19.

  10.5    media de los elementos 6 y 7

v  Modelo Matemático:

      En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra K.N/100, K=1,2,..99, en la tabla de las frecuencias acumuladas.

Pk = Li+ K.N/100 – Fi-1 / Fi .ai                 K= 1,2,…99

Donde:

Li= es el límite inferior de la clase donde se encuentra el percentil.

N= es la suma de las frecuencias absolutas.

Fi-1= es la frecuencia acumulada anterior a la clase del percentil.

ai= es la amplitud de la clase.

v  Ejemplos:

·        Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:

	fi	Fi
[50, 60)	8	8
[60, 70)	10	18
[70, 80)	16	34
[80, 90)	14	48
[90, 100)	10	58
[100, 110)	5	63
[110, 120)	2	65
	65

 

Percentil 35

65.35/100=22.75

P₃₅= 70+22.75-18/16.10 = 72.97

Percentil 60

65.60/100=39

P₆₀= 80+39-34/14.10 = 83.57

·        Supongamos que el 78% de los resultados de la nota del parcial es menor o igual a 4 puntos. Entonces, 4 es el percentil 78 de la distribución. 78% de todos los resultados 22%

3-      Deciles:

      Son cada uno de los 9 valores D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9 que dividen a la atribución de los datos 10 partes iguales.

      El primer decil es igual al décimo percentil (D1=P1), el segundo decil es igual a veinteavo percentil (D2=P20), y así sucesivamente

 

v  Propiedades:

ü  Para Datos No Agrupados

        La posición o ubicación de los deciles se encuentra aplicando la siguiente ecuación:

                                      Dk=Xn·k10+12=Xn·k+510

Donde:

n = número total de datos.

k = número del decil.

ü  Para Datos Agrupados en Tablas de Frecuencia

Se emplea la misma ecuación utilizada en el cálculo de los deciles para datos sin agrupar.

ü  Para Datos Agrupados en Intervalos

      Se emplea la siguiente ecuación:

Dk=LiD+nk10-FafD·c

Donde:

LiD = Límite inferior del intervalo de clase del decil.

n = número total de datos.

Fa = Frecuencia acumulada del intervalo de clase que antecede al intervalo de clase del decil.

fD = Frecuencia absoluta del intervalo de clase del decil.

c = Ancho del intervalo de clase del decil.

 

v  Modelo Matemático:

      En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra K.N/10,K=1,2,…9, en la tabla de las frecuencias acumuladas.

Dk=Li+K.N/10-Fi-1 / Fi                         K= 1,2,…9

Li= es el límite inferior de la clase donde se encuentra el decil.

N= es la suma de las frecuencias absolutas.

Fi-1= es la frecuencia acumulada anterior a la clase el decil..

ai= es la amplitud de la clase.

 

v  Ejemplos:

  1-    Calcular el quinto decil de la siguiente distribución: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17

Solución:

     Para calcular los deciles se ordena los datos de menor a mayor.

6	9	9	12	12	12	15	17
x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8

Aplicando la ecuación para el quinto decil se obtiene:

·         Dk=Xn·k+510

·         D5=Xn·5+510=X5n+510=X5·8+1010=X40+510=X4,5=x4+x52=12+122=12

·         también la posición 4,5 dice que el decil 5 está ubicado al 50% del trayecto comprendido entre el cuarto dato, que es 12 y el quinto dato que también es 12, es decir,

·         D5= 12+0,5(12-12) = 12

 

2- Calcular los deciles de la distribución de la tabla:

	fi	Fi
[50, 60)	8	8
[60, 70)	10	18
[70, 80)	16	34
[80, 90)	14	48
[90, 100)	10	58
[100, 110)	5	63
[110, 120)	2	65
	65

Cálculo del primer decil

65.1/10=6.5

D1=50+6.5-0/8.10= 58.12

Cálculo del segundo decil

65.2/10=13

D2=60+13-8/10.10= 65

Cálculo del tercer decil

65.3/10=19.5

D3=70+19.5-18/16.10= 70.94

Cálculo del cuarto decil

65.4/10=26

D4=70+26-18/16.10= 75

Cálculo del quinto decil

65.5/10=32.5

D5=70+32.5-18/16.10= 79.06

Cálculo del sexto decil

65.6/10=39

D6=80+39-34/14.10= 83.57

Cálculo del séptimo decil

65.7/10=45.5

D7=80+45.5-34/14.10= 88.21

Cálculo del octavo decil

65.8/10=52

D8=90+52-48/10.10= 94

Cálculo del noveno decil

65.9/10=58.5

D9=100+58.5-58/5.10 = 101

Conclusión

      Las medidas que describen un valor típico en un grupo de observaciones suelen llamarse medidas de tendencia central. Es importante tener en cuenta que estas medidas se aplican a grupos más bien que a individuos. Un promedio es una característica de grupo, no individual. Con esta se comprende la importancia de conocer y aplicar las medidas de tendencia central para datos agrupados y no agrupados.  

      Las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) sirven como puntos de referencia para interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba, entre otras.

      Este tema es muy importante ya que nos muestra tanto la denotación y definición de cada medida, así como también las propiedades y métodos para determinarla.

         En este caso también se tomó en cuenta aquellas medidas no centrales como lo son los percentiles, Cuartiles Y deciles; los cuales también poseen una seri de propiedades, y modelos matemáticos que vamos a emplear en nuestra vida cotidiana como estudiantes.